Reti parte 1 – degree distribution

Il cervello. Il world wide web. Internet. Le interazioni tra le proteine in una cellula. L’espressione dei geni. Le ferrovie europee. I miei amici su Facebook. Che cosa hanno in comune tutti questi sistemi, che provengono da aree completamente diverse tra loro? Una delle maggiori gioie dello scienziato che lavora con un punto di vista teorico è scoprire che uno stesso modello si adatta a realtà diverse: è una delle sorgenti della bellezza matematica.

L’oggetto matematico di cui stiamo parlando è la rete. Tutti gli esempi sopra hanno in comune la possibilità di essere descritti come un insieme di elementi collegati tra loro con una geometria particolare. Chiamiamo nodi questi elementi, proprio come nelle reti da pesca, ogni volta che trama e ordito si incrociano, si annodano tra loro. I neuroni, le pagine del web, i computer connessi a internet, gli snodi ferroviari, gli aeroporti, sono tutti esempi di cose che possono essere rappresentate come nodi di una rete. I nodi sono collegati tra loro da sinapsi, collegamenti ipertestuali, cavi in fibra ottica, strade ferrate, voli regolari o altre forme di interazione più o meno concrete. Per esempio, supponiamo che Edimburgo non sia collegata a Milano da un volo diretto, mentre lo sono Londra e Francoforte, aeroporti in cui posso fare scalo per andare in Scozia. Visto che Londra e Francoforte, incidentalmente, sono anche collegate tra loro, posso schematizzare il tutto così:grafo cittQuesto è quello che i matematici chiamano un grafo. Si comincia a parlare di reti quando si fa uno studio dei grafi dal punto di vista statistico. Pensate ad estendere uno schema del genere a un sistema enormemente grande, come i cento miliardi di neuroni di un cervello medio, ognuno connesso a una media stimata di mille altri. È chiaro che a questo punto non ci interessa – e se ci interessasse sarebbe comunque un’impresa impossibile – studiare ogni neurone come un’entità singola, con un’etichetta come “Milano” o “Londra” per ognuno. Possiamo invece raccogliere informazioni preziose su come è fatta la struttura su grande scala. Il numero di nodi e di archi che li collegano è la prima, fondamentale, informazione. Ma c’è molto altro: per esempio, c’è un piccolo numero di nodi che domina la rete, nel senso che su di essi sono concentrati la maggior parte dei collegamenti? O tutti hanno più o meno lo stesso ruolo? C’è un solo modo di passare da un punto all’altro, come per le ramificazioni di un albero, o sono possibili più percorsi e circoli chiusi?

Torniamo all’esempio di prima. Supponete che i collegamenti aerei tra alcune città europee siano disponibili solo secondo gli schemi seguenti:

Senza titoloNonostante abbiano lo stesso numero di nodi e lo stesso numero di archi, sono due grafi molto diversi! Nel primo c’è uguaglianza tra tutte le città, nel secondo Londra ha un ruolo privilegiato. Mentre nel primo, per andare da Milano a Copenhagen, devo cambiare aereo tre volte (!), nel secondo è garantito che qualunque destinazione può essere raggiunta con al massimo uno scalo, e tuttavia, resta l’assurdità di dover passare da Londra per andare da Helsinki a Mosca. Questo illustra l’importanza che la struttura della rete ha sul suo funzionamento, qualunque esso sia.

Per poter fare affermazioni quantitative, i teorici delle reti (che sono matematici, fisici, biologi, informatici e altro, rendendo multidisciplinare questo campo) hanno definito delle quantità che misurano queste caratteristiche. La prima che ci interessa è la distribuzione dei gradi. Il grado q di un nodo è il numero di connessioni che forma con altri nodi. La distribuzione di questa quantità è una funzione P(q) che dice ci sono P(1) nodi con grado 1, P(2) nodi con grado 2, eccetera eccetera.

Se dovessi scegliere una distribuzione P, troverei naturale lavorare con funzioni con un picco, tali per cui tutti i nodi hanno all’incirca lo stesso numero di connessioni, come negli esempi disegnati sopra. Oppure con distribuzioni di Poisson, perché si presenterebbero spontaneamente quando la rete è stata prodotta con un processo casuale. Internet, anche se non tutti lo sanno, non è stato progettato, ma la sua struttura ha origine da gruppi di calcolatori che si collegavano alla rete preesistente nel modo che sembrava più conveniente; il WWW, che non è la stessa cosa, bensì l’insieme delle pagine web, a sua volta, ha subito un processo di crescita in cui nuovi siti si collegavano ai vecchi senza uin progetto, in modo autonomo. Ci si aspetterebbe che reti che non solo sono enormi e intricate, ma non hanno un progettista unico siano evolute in modo abbastanza casuale, no?

Le cose si cominciano a fare interessanti quando si scopre che una classe molto vasta di reti ben diverse tra loro hanno i gradi distribuiti allo stesso modo. E per giunta, non nel modo che ci si aspetta da una crescita a casaccio: sono dotate di una struttura particolare, che emerge dal modo in cui crescono.

La rete sociale degli attori, la rete elettrica degli Stati Uniti, le citazioni degli articoli scientifici, il WWW, sono stati tutti studiati e per tutti questi si è trovata la stessa distribuzione, che decade con una legge di potenza. Lo stesso risultato è stato più tardi confermato per altri esempi ancora, mostrando una sorprendente somiglianza tra sistemi che sono fisicamente realizzati in modo diverso, interagiscono in modo diverso, e soprattutto nascono ed evolvono in modo diverso.

Vi lascerò nel dubbio sul perché questo accada fino al prossimo post.

(Se volete stare aggiornati, non dimenticate di iscrivervi al feed.)

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s