Millennium Bridge

Buongiorno a tutti! Prima di iniziare a leggere, per capire di cosa stiamo parlando, vi invito a dare un’occhiata al (breve) video qui sotto.

Dovreste aver notato (si vede bene alla fine), che il ponte vibra lateralmente in un modo che sembra piuttosto preoccupante, anche se trovo abbastanza buffa la camminata sincronizzata della folla. Si tratta del Millennium Bridge di Londra nel giorno della sua inaugurazione.

Ultimamente sto lavorando con un modello matematico della sincronizzazione: questo è un ottimo esempio per introdurre il problema. Come sempre, aver capito un argomento non significa saperlo spiegare, ma ci proverò.

Per capire perché tutti i partecipanti all’inaugurazione si sono messi ad oscillare insieme, partiamo da un postulato:

1. se il ponte oscilla, devo adeguare il mio passo al ponte per restare in equilibrio.

Bisogna specificare che una vibrazione molto piccola non necessariamente costringe tutta la gente sul ponte a sincronizzarsi. Tuttavia, se la vibrazione fosse forte, chi non compensasse opportunamente rischierebbe di cadere. Perchiò correggiamo il primo postulato come segue:

1b. maggiore l’ampiezza delle oscillazioni, più gente deve adeguare il proprio passo alla vibrazione del ponte.

Con piccole oscillazioni si sincronizzerà chi, spontanemente, ha una “frequenza di camminata” più vicina a quella naturale del ponte; se aumentano, pian piano anche gli altri saranno costretti a rallentare o accelerare il passo.

Tuttavia, non abbiamo ancora spiegato come abbia fatto una oscillazione così forte del ponte a instaurarsi. Dobbiamo però considerare che, quando qualcuno cammina alla frequenza di risonanza del ponte e in fase con esso, alimenta il suo moto. Aggiungiamo allora

2. più gente cammina in risonanza col ponte, più le oscillazioni sono ampie.

Non si può mancare di notare che è esattamente simmetrica alla 1!

Possiamo riassumere il procedimento come segue: è sufficiente che una persona, casualmente, cammini alla frequenza di vibrazione naturale del ponte, perché questo cominci a vibrare impercettibilmente. Inconsciamente, un’altro pedone si mette a seguire questa frequenza per equilibrarsi meglio. Questo aumenta l’ampiezza delle oscillazioni, e recluta ancora altre persone nella “fase sincrona”, che aumentano ancora le oscillazioni, e così via: è un esempio di feedback positivo, in cui un fenomeno emerge spontaneamente e si autosostenta. Aumenterebbe addirittura esponenzialmente, se non fosse che il numero di persone disponibili è limitato, e le oscillazioni del ponte sono smorzate dalla sua struttura.

Per concludere, il ponte fu chiuso il giorno stesso della sua inagurazione, e riaperto due anni dopo. Verifiche tecniche appurarono che era stato progettato per smorzare vibrazioni verticali (come quelle delle auto, immagino) e non orizzontali. E casualmente, la sua frequenza di oscillazione propria orizzontale era pericolosamente vicina a quella dei passi dell’inglese medio. Incidentalmente, la “rottura del passo” che si ordina alle truppe in marcia all’attraversamento di una struttura, si deve proprio a questo. Immaginate cosa succederebbe se il passo dei soldati, già sincronizzati coincidesse con la frequenza di risonanza di un viadotto: verrebbe giù tutto.

Mi accorgo ora che questo interessante problema ha ispirato dei modelli matematici abbastanza sofisticati. Tra questi, una pubblicazione su Physical Review di Eckhardt et al. (dove tra gli “al.” c’è anche Steven Strogatz, famoso matematico autore di Sync, un saggio divulgativo sulla sincronizzazione), “Modeling walker synchronization on the Millennium Bridge” (Phys. Rev. E 75, 021110 (2007)). Al variare dei parametri rilevanti per il problema (numero di pedoni, variabilità della frequenza a cui camminano, intensità dell’interazione con il ponte, smorzamento delle oscillazioni dovuto alla struttura), gli autori trovano una transizione tra lo stato in cui l’interazione è troppo piccola da superare le differenze tra i diversi modi di camminare e quello in cui, uno dopo l’altro, si trovano a oscillare come una famiglia di anatre ubriache: quello che è successo a Londra.

La figura a lato, tratta dall’articolo, mostra l’evoluzione del sistema nel tempo. Il grafico sopra è facile da capire: sono le oscillazioni laterali del ponte, che crescono pian piano. L’immagine colorata si può interpretare con un po’ di impegno: i punti rossi indicano un pedone che sta posando a terra il piede destro, i punti blu il sinistro. Sull’asse verticale ci sono i pedoni, su quello orizzontale il tempo. Sul lato sinistro del grafico si vede che , a un tempo fissato, ci sono sia puntini blu sia puntini rossi. Sul lato destro, al contrario, per un dato istante troviamo una banda verticale rossa o blu, cioè tutti stanno posando contemporanemente lo stesso piede: è lo stato sincrono.

Più in generale, con il modello da cui si sono ispirati per l’applicazione al ponte, il modello di Kuramoto, si possono descrivere molti sistemi anche assai diversi tra loro, dalla fisica dei superconduttori al lampeggiare all’unisono delle lucciole, dalla sincronizzazione di pendoli e metronomi alle scariche dei neuroni nel cervello umano. Tornerò sull’argomento in un prossimo post.

Eckhardt, B., Ott, E., Strogatz, S., Abrams, D., & McRobie, A. (2007). Modeling walker synchronization on the Millennium Bridge Physical Review E, 75 (2) DOI: 10.1103/PhysRevE.75.021110